◄ Representación Origámica del Número Aureo o Número de Oro

Buen día compañer@s origamitos. El objetivo de esta actividad consiste en representar geométricamente, mediante dobleces, las soluciones reales de la ecuación cuadrática en la cual, una de las soluciones es el número de oro. Pero, ¿qué es el número de oro?

Se trata de un número algebraico que posee propiedades muy interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas, como en la naturaleza, en elementos tales como caracoles, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, entre otras. Observa el siguiente segmento:

Una sección áurea es una división en dos partes de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado con la letra griega (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional

Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

Para obtener el valor de fi, a partir de esta razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

Mediante la fórmula cuadrática se obtiene que las dos soluciones de la ecuación, las cuales son:

La solución positiva es el valor del número áureo.

A continuación representaré cada una de estas soluciones empleando dobleces. Finalmente observaremos lo que sucede con la representación gráfica en el plano cartesiano.
Primero, vamos a construir un rectángulo de oro. Un rectángulo de oro o áureo es aquel cuyos lados están en razón aurea, esto significa que al expresar la razón entre el lado mayor y el lado menor, se obtiene exactamente:

Iniciamos con una hoja tamaño carta, es decir un rectángulo.
Para esta construcción en particular voy a marcar, con dobleces, el mayor rectángulo de proporciones 1:2 que se puede obtener de la hoja anterior. Para que les quede mas claro, vamos a obtener el mayor rectángulo que se puede obtener con esta hoja, de tal forma que uno de los lados sea el doble del otro. Para ello, iniciamos doblando y marcando la mitad de un lado de la hoja, por el lado más largo:
Posteriormente procedemos a superponer el punto marcado con lapicero sobre el otro lado (el lado mas corto del rectángulo), tal como se muestra en las siguentes fotos:
Este punto marcado es la guía para construir el rectángulo que necesitamos. Simplemente doblamos hacia atrás y obtenemos la siguiente cicatriz:
Tomamos unas tijeras y recortamos el rectángulo marcado con los dedos:




dividimos el ancho de nuestro rectángulo en cuatro partes iguales,